Un breve video ci aiuta a comprendere ed apprezzare i molteplici legami tra geometria e proprietà matematiche e Natura.
Artisti e architetti, fin dai tempi antichi, hanno sempre usato molte proprietà goemetriche e matematiche. Noi possiamo riscontrare svariati esempi di ciò, a partire dall’osservare semplicemente il raffinato utilizzo architettonico delle proporzioni nell’Antico Egitto, nell’Antica Grecia e nella Roma imperiale. Esattamente come possiamo trovarli tra gli artisti del Rinascimento come Michelangelo, Leonardo Da Vinci o Raffaello.
Tutto è disposto secondo numeri e formule matematiche.
Pitagora
Ma ciò che è ancora più sorprendente, è che molte di quelle proprietà matematiche, nei loro sviluppi teorici, sono poi in pratica presenti in molti aspetti della Natura. Ci sono casi infiniti che possiamo prendere in considerazione. Ma in questo breve film d’animazione 3D, ideato da Cristobal Vila e presentato dagli Eterea Studios, ne sono stati scelti principalmente 5… direi i più sorprendenti e interessanti.
- La Serie di Fibonacci con le sue spirali
- Le Proporzioni Angolari della Sezione Aurea
- La Triangolazione di Delaunay
- I Diagrammi di Voronoi
- Frattali
Cominciamo dal famosissimo Nautilus, un mollusco cefalopode così antico da essere considerato un fossile vivente. Ebbene, la sua peculiarità più nota, oltre a quella di essere sopravvissuto per ben 520 milioni di anni, è la forma della sua conchiglia. La sezione longitudinale della casa del Nautilus è la perfetta rappresentazione di una spirale logaritmica. Una spirale che ripete all’infinito le proporzioni della sezione aurea, una delle proprietà matematiche in Natura. Fondamentale per molti fenomeni di accrescimento naturale.
Rimaniamo nelle forme spiralate, ma cambiamo regno, passando da quello animale a quello vegetale. Avete mai notato che, nell’ipnotizzante disco centrale dei girasoli, si avvitano due spirali, una in senso orario e l’altra in senso antiorario?
Le spirali, poi, sono anche alla base dei frattali. Meravigliose figure geometriche la cui forma si ripete all’infinito su scale dimensionali diverse, come nel Broccolo romanesco.
Ma tra tutti questi numeri, ce ne sono alcuni più ricorrenti nel mondo naturale?
Come per le figure geometriche, anche in questo caso esistono dei favoriti. Come i numeri della serie di Fibonacci. Tutti noi l’abbiamo studiata a scuola. E sappiamo che consiste in una successione di numeri, dei quali ogni membro è la somma dei due precedenti (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …). E che, il cui rapporto col numero precedente si avvicina (o in eccesso o in difetto) sempre più a Φ, il numero aureo.
Difficilmente, in natura, troverete fiori con un numero di petali diverso da un numero appartenente alla serie di Fibonacci. Gigli e iris (3), ranuncoli (5), delphinia (8), tageti (13), margherite (13, 21 o 34), girasoli (34, 55, 89 o 144). Lo stesso vale per il numero di squame nelle spire delle pigne o dell’ananas. I quali si vanno a disporre nel modo più efficiente in termini di spazio.
In generale, i numeri di Fibonacci sono onnipresenti nella Fillotassi. Ovvero la branca della botanica che studia l’ordine con cui foglie, petali, sepali, squame, rami interi, sono distribuiti nello spazio. Questo per conferire una struttura geometrica precisa alla pianta.
Il libro della natura è scritto in caratteri matematici.
Galileo Galilei
Incredibile, vero? Se vogliamo parlare ancora di insetti, accenniamo alla Triangolazione di Delaunay e la Tassellatura di Voronoi. Queste formazioni geometriche sono perfettamente riconducibili alle magnifiche ali delle libellule. Ed in particolare alle loro nervature. Come, anche, alla struttura di certe foglie.
Immaginate di avere due punti, uno rosso e l’altro blu. Iniziate disegnando un segmento che unisce questi punti. E poi una seconda linea ortogonale proprio nel mezzo. Abbiamo appena trovato la bisettrice del segmento che congiunge questi due punti. Poi aggiungiamo un terzo punto verde. Generando due nuove bisettrici che si intersecano con la prima.
Se continuiamo ad aggiungere punti, generando ulteriori bisettrici, con le loro intersezioni, arriveremo ad una serie di Tessere di Voronoi intorno ad una serie di “punti di controllo“. Così, il perimetro di ciascuna di queste tessere è equidistante dai punti vicini.
Tutti questi segmenti che connettono i punti formano una struttura triangolare detta Triangolazione di Delaunay.
Ciao da Tommaso.
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3 commenti
Chiedo venia. Nella fretta ho trascurato il calcolo del raggio vettore ρ = ρ0 / cos (θ / 3). Mentre il raggio ρ0 sostituisce ρ, erroneamente scritto ρ = r sen (360° / 4 n).
Grazie infinite, Gaetano.
Includerei una sesta proprietà matematica della bellezza della natura, quella che regola la simmetria raggiata, per esempio, dei petali dei fiori, delle stelle marine, del cristallo di ghiaccio di neve naturale, della ruota del pavone e così via. E naturalmente nell’ottica matematico-geometrica, la proprietà che accomuna tutti i poligoni stellati regolari.
Si tratta di spirali che sono in grado di generare questi poligoni stellati regolari e così tutto ciò che ho elencato sulla simmetria raggiata delle natura.
In geometria non è contemplata questa geometria, tuttavia sono stato in grado di concepirla, e l’ho chiamata spirale di Barbella, naturalmente.
Per descriverla dovrei far capo a dei disegni geometrici, ma posso rimediare ricorrendo a espressioni matematiche non difficili da capire, almeno da coloro che hanno conoscenza delle coordinate cartesiane e polari, studiate nelle scuole superiori.
In generale ogni spirale può essere descritta usando le coordinale polari e imponendo che il raggio (r), relativo ai punti che individuano la spirale, sia una funzione continua e monotona dell’angolo in progressione (θ).
Così nel caso della spirale suddetta dei poligoni stellati regolari, poniamo che ogni suo punto inizia a progredire sull’ascissa positiva, di raggio r = ρ0. Ogni suo successivo raggio ρ = r sen (360° / 4 n), di cui n indica il numero delle radiazioni del poligono stellato.
In conclusione non c’è poligono stellato regolare che non sia individuato da dalla spirale con almeno qualche punto della sua geometria.
Saluti
Gaetano